Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний. Гармонические колебания Условия при возникают гармонические колебания
На хабре было несколько статей по преобразованию Фурье и о всяких красивостях типа Цифровой Обработки Сигналов (ЦОС), но неискушённому пользователю совершенно не понятно, зачем всё это нужно и где, а главное как это применить.
АЧХ шума.
Лично мне после прочтения этих статей (например, этой) не стало понятно, что это и зачем оно нужно в реальной жизни, хотя было интересно и красиво.
Хочется не просто поглядеть красивые картинки, а так сказать, ощутить нутром, что и как работает. И я приведу конкретный пример с генерацией и обработкой звуковых файлов. Можно будет и послушать звук, и поглядеть его спектр, и понять, почему это так.
Статья не будет интересна тем, кто владеет теорией функций комплексной переменной, ЦОС и прочими страшными темами. Она скорее для любопытствующих, школьников, студентов и им сочувствующих:).
Сразу оговорюсь, я не математик, и многие вещи могу даже сказать неправильно (поправляйте личным сообщением), и данную статью пишу, опираясь на собственный опыт и собственное понимание текущих процессов. Если вы готовы, то поехали.
Пару слов о матчасти
Если мы вспомним школьный курс математики, то для построения графика синуса мы использовали круг. В общем-то так и получается, что вращательное движение можно превратить в синусоиду (как и любое гармоническое колебание). Самое лучшая иллюстрация этого процесса приведена в википедии
Гармонические колебания
Т.е. фактически график синуса получается из вращения вектора, который описывается формулой:
F(x) = A sin (ωt + φ),
Где A - длина вектора (амплитуда колебаний), φ - начальный угол (фаза) вектора в нулевой момент времени, ω - угловая скорость вращения, которая равна:
ω=2 πf, где f - частота в Герцах.
Как мы видим, что зная частоту сигнала, амплитуду и угол, мы можем построить гармонический сигнал.
Магия начинается тогда, когда оказывается, что представление абсолютно любого сигнала можно представить в виде суммы (зачастую бесконечной) различных синусоид. Иначе говоря, в виде ряда Фурье.
Я приведу пример из английской википедии . Для примера возьмём пилообразный сигнал.
Пилообразный сигнал
Его сумма будет представлена следующей формулой:
Если мы будем по очерёдно суммировать, брать сначала n=1, затем n=2 и т.д., то увидим, как у нас гармонический синусоидальный сигнал постепенно превращается в пилу:
Наверное красивее всего это иллюстрирует одна программа, найденная мной на просторах сети. Выше уже говорилось, что график синуса является проекцией вращающегося вектора, а как же быть в случае более сложных сигналов? Это, как ни странно, проекция множества вращающихся векторов, а точнее их суммы, и выглядит это всё так:
Вектора рисуют пилу.
Вообще рекомендую сходить самим по ссылке и попробовать самим поиграться с параметрами, и посмотреть как меняется сигнал. ИМХО более наглядной игрушки для понимания я ещё не встречал.
Ещё следует заметить, что есть обратная процедура, позволяющая получить из данного сигнала частоту, амплитуду и начальную фазу (угол), которое называется Преобразование Фурье.
Разложение в ряд Фурье некоторых известных периодических функций (отсюда)
Я детально на нём останавливаться не буду, но покажу, как это можно применить по жизни. В списке литературы порекомендую то, где можно почитать подробнее о матчасти.
Переходим к практическим упражнениям!
Мне кажется, что каждый студент задаётся вопросом, сидя на лекции, например по матану: зачем мне весь этот бред? И как правило, не найдя ответа в обозримом будущем, к сожалению, теряет интерес к предмету. Поэтому я сразу покажу практическое применение данных знаний, а вы эти знания уже будете осваивать сами:).
Всё дальнейшее я буду реализовывать на сях. Делал всё, конечно, под Linux, но никакой специфики не использовал, по идее программа будет компилироваться и работать под другими платформами.
Для начала напишем программу для формирования звукового файла. Был взят wav-файл, как самый простой. Прочитать про его структуру можно .
Если кратко, то структура wav-файла описывается так: заголовок, который описывает формат файла, и далее идёт (в нашем случае) массив 16-ти битных данных (остроконечник) длиной: частота_дискретизации*t секунд или 44100*t штук.
Для формирования звукового файла был взят пример . Я его немного модифицировал, исправил ошибки, и окончательная версия с моими правками теперь лежит на гитхабе тут
Сгенерируем двухсекундный звуковой файл с чистым синусом частотой 100 Гц. Для этого модифицируем программу таким образом:
#define S_RATE (44100) //частота дискретизации
#define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 second buffer */
….
int main(int argc, char * argv)
{
...
float amplitude = 32000; //берём максимальную возможную амплитуду
float freq_Hz = 100; //частота сигнала
/* fill buffer with a sine wave */
for (i=0; i Обращаю внимание, что формула чистого синуса соответствует той, о которой мы говорили выше. Амплитуда 32000 (можно было взять 32767) соответствует значению, которое может принимать 16-ти битное число (от минус 32767 до плюс 32767). В результате получаем следующий файл (можно его даже послушать любой звуковоспроизводящей программой). Откроем данный файл audacity и увидим, что график сигнала в действительности соответствует чистому синусу: Поглядим спектр этого синуса (Анализ->Построить график спектра) Виден чистый пик на 100 Гц (логарифмический масштаб). Что такое спектр? Это амплитудно-частотная характеристика. Существует ещё фазочастотная характеристика. Если помните, выше я говорил, что для построения сигнала надо знать его частоту, амплитуду и фазу? Так вот, можно из сигнала получить эти параметры. В данном случае у нас график соответствий частот амплитуде, при чём амплитуда у нас не в реальных единицах, а в Децибелах. Я понимаю, что чтобы объяснить, как работает программа, надо объяснить, что такое быстрое преобразование Фурье, а это как минимум ещё на одну некислую статью. Для начала алокируем массивы: C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // массив поворотных множителей
in = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //входный массив
out = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //выходной массив
Скажу лишь, что в программе мы читаем данные в массив длиной size_array (которое берём из заголовка wav-файла). While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) {
in[j]=(float)value;
j+=2;
if (j > 2*size_array) break;
}
Массив для быстрого преобразования Фурье должен представлять собой последовательность {re, im, re, im,… re, im}, где fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком: Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));
Логарифм от количество байт в данных, делённых на количество байт в одной точке. После этого считаем поворотные множители: Fft_make(p2,c);// функция расчёта поворотных множителей для БПФ (первый параметр степень двойки, второй алокированный массив поворотных множителей).
И скармливаем наш считанный массив в преобразователь Фурье: Fft_calc(p2, c, in, out, 1); //(единица означает, что мы получаем нормализованный массив).
На выходе мы получаем комплексные числа вида {re, im, re, im,… re, im}. Для тех, кто не знает, что такое комплексное число, поясню. Я не зря начал эту статью с кучи вращающихся векторов и кучи гифок. Так вот, вектор на комплесной плоскости определяется действительной координатой a1 и мнимой координатой a2. Или длиной (это у нас амплитуда Am) и углом Пси (фаза). Обратите внимание, что size_array=2^p2. Первая точка массива соответствует частоте 0 Гц (постоянная), последняя точка соответствует частоте дискретизации, а именно 44100 Гц. В результате мы должны рассчитать частоту, соответствующей каждой точке, которые будут отличаться на частоту дельта: Double delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; //частота дискретизации на размер массива.
Алокируем массив амплитуд: Double * ampl;
ampl = calloc(size_array*2, sizeof(double));
И смотрим на картинку: амплитуда - это длина вектора. А у нас есть его проекции на действительную и мнимую ось. В результате у нас будет прямоугольный треугольник, и тут мы вспоминаем теорему Пифагора, и считаем длину каждого вектора, и сразу пишем её в текстовый файл: For(i=0;i<(size_array);i+=2) {
fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out)));
cur_freq+=delta;
}
…
11.439514 10.943008
11.607742 56.649738
11.775970 15.652428
11.944199 21.872342
12.112427 30.635371
12.280655 30.329171
12.448883 11.932371
12.617111 20.777617
...
Теперь скармливаем получившейся программе тот звуковой файл синуса ./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav
format: 16 bits, PCM uncompressed, channel 1, freq 44100, 88200 bytes per sec, 2 bytes by capture, 2 bits per sample, 882000 bytes in data
chunk=441000
log2=18
size array=262144
wav format
Max Freq = 99.928 , amp =7216.136
И получаем текстовый файл АЧХ. Строим его график с помощью гнуплота Скрипт для построения: #! /usr/bin/gnuplot -persist
set terminal postscript eps enhanced color solid
set output "result.ps"
#set terminal png size 800, 600
#set output "result.png"
set grid xtics ytics
set log xy
set xlabel "Freq, Hz"
set ylabel "Amp, dB"
set xrange
#set yrange
plot "test.txt" using 1:2 title "AFC" with lines linestyle 1
Обратите внимание на ограничение в скрипте на количество точек по X: set xrange . Частота дискретизации у нас 44100, а если вспомнить теорему Котельникова, то частота сигнала не может быть выше половины частоты дискретизации, следовательно сигнал выше 22050 Гц нас не интересует. Почему так, советую прочитать в специальной литературе. Обратите внимание на резкий пик на частоте 100 Гц. Не забывайте, что по осям - логарифмический масштаб! Шерсть справа, как я думаю, ошибки преобразования Фурье (тут на память приходят окна). А давайте! Давайте поглядим спектры других сигналов! Double d_random(double min, double max)
{
return min + (max - min) / RAND_MAX * rand();
}
Она будет генерировать случайное число в заданном диапазоне. В результате main будет выглядеть так: Int main(int argc, char * argv)
{
int i;
float amplitude = 32000;
srand((unsigned int)time(0)); //инициализируем генератор случайных чисел
for (i=0; i Сгенерируем файл , (рекомендую к прослушиванию). Поглядим его в audacity. Поглядим спектр в программе audacity. И поглядим спектр с помощью нашей программы: Хочу обратить внимание на очень интересный факт и особенность шума - он содержит в себе спектры всех гармоник. Как видно из графика, спектр вполне себе ровный. Как правило, белый шум используется для частотного анализа пропускной способности, например, аудиоаппаратуры. Существуют и другие виды шумов: розовый, синий и другие
. Домашнее задание - узнать, чем они отличаются. А теперь давайте посмотрим другой интереснейший сигнал - меандр. Я там выше приводил табличку разложений различных сигналов в ряды Фурье, вы поглядите как раскладывается меандр, выпишите на бумажку, и мы продолжим. Для генерации меандра с частотой 25 Гц мы модифицируем в очередной раз наш генератор wav-файла: Int main(int argc, char * argv)
{
int i;
short int meandr_value=32767;
/* fill buffer with a sine wave */
for (i=0; i В результате получим звуковой файл (опять же, советую послушать), который сразу надо посмотреть в audacity Не будем томиться и поглядим его спектр: Пока не очень что-то понятно, что такое… А давайте поглядим несколько первых гармоник: Совсем другое дело! Ну-ка поглядим табличку. Смотрите-ка, у нас есть только 1, 3, 5 и т.д., т.е. нечётные гармоники. Мы так и видим, что у нас первая гармоника 25 Гц, следующая (третья) 75 Гц, затем 125 Гц и т.д., при этом у нас амплитуда постепенно уменьшается. Теория сошлась с практикой! Эта картинка прям как картинка из википедии , где для примера меандра берутся не все частоты, а только первые несколько. Сумма первых гармоник, и как меняется сигнал
Меандр так же активно используется в радиотехнике (надо сказать, что - это основа всей цифровой техники), и стоит понимать что при длинных цепях его может отфильтровать так, что, родная мама не узнает. Его так же используют для проверки АЧХ различных приборов. Ещё интересный факт, что глушилки телевизоров работали именно по принципу высших гармоник, когда сама микросхема генерировала меандр десятки МГц, а его высшие гармоники могли иметь частоты сотни МГц, как раз на частоте работы телевизора, и высшие гармоники успешно глушили сигнал вещания телевизора. Вообще тема подобных экспериментов бесконечная, и вы можете теперь сами её продолжить. Для тех, кто нифига не понял, что мы тут делаем, или наоборот, для тех, кто понял, но хочет разобраться ещё лучше, а так же для студентам, изучающим ЦОС, крайне рекомендую эту книгу. Это ЦОС для чайников, которым является автор данного поста. Там доступным даже для ребёнка языком рассказываются сложнейшие понятия. В заключении хочу сказать, что математика - царица наук, но без реального применения многие люди теряют к ней интерес. Надеюсь, данный пост подстегнёт вас к изучению такого замечательного предмета, как обработка сигналов, и вообще аналоговой схемотехнике (затыкайте уши, чтобы не вытекали мозги!). :) Меняется во времени по синусоидальному закону: где х
— значение колеблющейся величины в момент времени t
, А
— амплитуда , ω
— круговая частота, φ
— начальная фаза колебаний, (φt +
φ
) — полная фаза колебаний . При этом величины А
, ω
и φ
— постоянные. Для механических колебаний колеблющейся величиной х
являются, в частности, смещение и скорость , для электрических колебаний — напряжение и сила тока . Гармонические колебания занимают особое место среди всех видов колебаний, т. к. это единственный тип колебаний, форма которых не искажается при прохождении через любую однородную среду, т. е. волны, распространяющиеся от источника гармонических колебаний, также будут гармоническими. Любое негармоническое колебание может быть представлено в виде сумм (интеграла) различных гармонических колебаний (в виде спектра гармонических колебаний). В процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии W p
в кинетическую W k
и наоборот. В положении максимального отклонения от положения равновесия потенциальная энергия максимальна, кинетическая равна нулю. По мере возвращения к положению равновесия скорость колеблющегося тела растет, а вместе с ней растет и кинетическая энергия, достигая максимума в положении равновесия. Потенциальная энергия при этом падает до нуля. Дальней-шее движение происходит с уменьшением скорости, которая падает до нуля, когда отклонение достигает своего второго максимума. Потенциальная энергия здесь увеличивается до своего перво-начального (максимального) значения (при отсутствии трения). Таким образом, колебания кинетической и потенциальной энергий происходят с удвоенной (по сравнению с колебаниями самого маятника) частотой и находятся в противофазе (т. е. между ними существует сдвиг фаз, равный π
). Полная энергия колебаний W
остается неизменной. Для тела, колеблющегося под действием силы упругости , она равна: где v m
— максимальная скорость тела (в положении равновесия), х m =
А
— амплитуда. Из-за наличия трения и сопротивления среды свободные колебания затухают: их энергия и амплитуда с течением времени уменьшаются. Поэтому на практике чаще используют не свободные, а вынужденные колебания. Гармоническое
колебание -
явление периодического изменения
какой-либо величины, при котором
зависимость от аргумента имеет характер
функции синуса или косинуса. Например,
гармонически колеблется величина,
изменяющаяся во времени следующим
образом: где х -
значение изменяющейся величины, t -
время, остальные параметры -
постоянные: А -
амплитуда колебаний, ω -
циклическая частота колебаний, -
полная фаза колебаний, -
начальная фаза колебаний. Обобщенное
гармоническое колебание в дифференциальном
виде (Любое
нетривиальное решение
этого дифференциального уравнения -
есть гармоническое колебание с циклической
частотой ) Свободные
колебания совершаются
под действием внутренних сил системы
после того, как система была выведена
из положения равновесия. Чтобы свободные
колебания были гармоническими,
необходимо, чтобы колебательная система
была линейной (описывалась линейными
уравнениями движения), и в ней отсутствовала
диссипация энергии (последняя вызвала
бы затухание). Вынужденные
колебания совершаются
под воздействием внешней периодической
силы. Чтобы они были гармоническими,
достаточно чтобы колебательная система
была линейной (описывалась линейными
уравнениями движения), а внешняя сила
сама менялась со временем как гармоническое
колебание (то есть чтобы зависимость
от времени этой силы была синусоидальной). Уравнение
(1) дает зависимость
колеблющейся величины S от
времени t;
это и есть уравнение свободных
гармонических колебаний в явном виде.
Однако обычно под уравнением колебаний
понимают иную запись этого уравнения,
в дифференциальной форме. Возьмем для
определенности уравнение (1) в виде дважды
продифференцируем его по времени: Видно,
что выполняется следующее соотношение: которое и называется
уравнением свободных гармонических
колебаний (в дифференциальной форме).
Уравнение (1) является решением
дифференциального уравнения (2). Поскольку
уравнение (2) - дифференциальное уравнение
второго порядка, необходимы два начальных
условия для получения полного решения
(то есть определения входящих в уравнение
(1) констант A и );
например, положение и скорость
колебательной системы при t =
0. Математи́ческий
ма́ятник - осциллятор,
представляющий собой механическую
систему,
состоящую изматериальной
точки,
находящейся на невесомой нерастяжимой нити
или на невесомом стержне в
однородном поле сил тяготения. Период малых
собственных колебаний математического
маятника длины l неподвижно
подвешенного в однородном поле тяжести
с ускорением
свободного падения g равен и не
зависит от амплитуды и массы маятника. Физический
маятник - осциллятор,
представляющий собой твёрдое
тело,
совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно
точки, не являющейся центром
масс этого
тела, или неподвижной оси, перпендикулярной
направлению действия сил и не проходящей
через центр масс этого тела. Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде: Для того чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению: где – масса колеблющегося тела. Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором,
а уравнение гармонических колебаний – уравнением гармонического осциллятора.
1.2. Сложение колебаний
Неpедки случаи, когда система одновpеменно участвует в двух или нескольких независимых дpуг от дpуга колебаниях. В этих случаях обpазуется сложное колебательное движение, котоpое создается путем наложения (сложения) колебаний дpуг на дpуга. Очевидно, случаи сложения колебаний могут быть весьма pазнообpазны. Они зависят не только от числа складываемых колебаний, но и от паpаметpов колебаний, от их частот, фаз, амплитуд, напpавлений. Не пpедставляется возможным обозpеть все возможное pазнообpазие случаев сложения колебаний, поэтому огpаничимся pассмотpением лишь отдельных пpимеpов. Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой
Рассмотрим сложение одинаково направленных колебаний одного периода, но отличающихся начальной фазой и амплитудой. Уравнения складываемых колебаний заданы в следующем виде: где и – смещения; и – амплитуды; и – начальные фазы складываемых колебаний. Если равномерно вращать систему векторов (параллелограмм) и проектировать векторы на ось ,
то их проекции будут совершать гармонические колебания в соответствии с заданными уравнениями. Взаимное расположение векторов , и при этом остается неизменным, поэтому колебательное движение проекции результирующего вектора тоже будет гармоническим. Отсюда следует вывод, что суммарное движение - гармоническое колебание, имеющее заданную циклическую частоту. Определим модуль амплитуды А
результирующего колебания. В угол (из равенства противоположных углов параллелограмма). Следовательно, отсюда: . Согласно теореме косинусов , Начальная фаза результирующего колебания определяется из : Соотношения для фазы и амплитуды позволяют найти амплитуду и начальную фазу результирующего движения и составить его уравнение: . Биения
Рассмотрим случай, когда частоты двух складываемых колебаний мало отличаются друг от друга , и пусть амплитуды одинаковы и начальные фазы , т.е. Сложим эти уравнения аналитически: Преобразуем Биения можно наблюдать при звучании двух камертонов, если частоты и колебаний близки друг к другу. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Пусть материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, совершающихся с одинаковыми периодами в двух взаимно перпендикулярных направлениях. С этими направлениями можно связать прямоугольную систему координат , расположив начало координат в положении равновесия точки. Обозначим смещение точки С вдоль осей и , соответственно, через и .
(рис. 4). Рассмотрим несколько частных случаев. 1). Начальные фазы колебаний одинаковы
Выберем момент начала отсчета времени таким образом, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Тогда смещения вдоль осей и можно выразить уравнениями: Поделив почленно эти равенства, получим уравнения траектории точки С: Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний точка С колеблется вдоль отрезка прямой, проходящей через начало координат (рис.4). Уравнения колебания в этом случае имеют вид: Уравнение траектории точки: Следовательно, точка С колеблется вдоль отрезка прямой, проходящей через начало координат, но лежащей в других квадрантах, чем в первом случае. Амплитуда А
результирующих колебаний в обоих рассмотренных случаях равна: 3). Начальная разность фаз равна
.
Уравнения колебаний имеют вид: Разделим первое уравнение на , второе – на : Возведем оба равенства в квадрат и сложим. Получим следующее уравнение траектории результирующего движения колеблющейся точки: Колеблющаяся точка С движется по эллипсу с полуосями и . При равных амплитудах траекторией суммарного движения будет окружность . В общем случае при , но кратным, т.е. , при сложении, взаимно перпендикулярных колебаний колеблющаяся точка движется по кривым, называемым фигурами Лиссажу. Фигуры Лиссажу
Фигу́ры Лиссажу́
– замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу. Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний
(рис. 5). Согласно
определению, момент
инерции тела относительно оси равен
сумме произведений масс частиц на
квадраты их расстояний до оси вращения
или
Однако,
эта формула непригодна для вычисления
момента инерции; так как масса твердого
тела распределена непрерывно, то сумму
следует заменить на интеграл. Поэтому
для вычисления момента инерции тело
разбивают на бесконечно малые объемы
dV с массой dm=dV.
Тогда где
R - расстояние элемента dV от оси вращения. Если
момент инерции I C
относительно оси, проходящей через
центр масс, известен, то можно легко
вычислить момент инерции относительно
любой параллельной оси О, проходящей
на расстоянии d от центра масс или I O =I C +md 2 , Это
соотношение называется теоремой
Штейнера
:
момент инерции тела относительно
произвольной оси равен сумме момента
инерции относительно оси параллельной
ей и проходящей через центр масс и
произведения массы тела на квадрат
расстояния между осями. Кинетическая
энергия вращающегося вокруг закрепленной
оси твердого тела Дифференцируя
формулу по времени, получим закон
изменения кинетической энергии
вращающегося вокруг закрепленной оси
твердого тела: скорость
изменения кинетической энергии
вращательного движения равна мощности
момента силы. dK вращ =M Z Z dt=M Z d
K
K 2 -K 1 = т.е.
изменение
кинетической энергии вращения равно
работе момента сил
. Движение
твердого тела, при котором центр масс
перемещается в фиксированной плоскости,
а ось его вращения, проходящая через
центр масс, остается перпендикулярной
к этой плоскости, называется плоским
движением
.
Это движение можно свести к совокупности
поступательного движения и вращения
вокруг неподвижной
(закрепленной) оси
,
так как в Ц-системе ось вращения,
действительно, остается неподвижной.
Поэтому плоское движение описывается
упрощенной системой двух уравнений
движения: Кинетическая
энергия тела, совершающего плоское
движение, будет: и
окончательно так
как в данном случае i "
- скорость вращения i-ой точки вокруг
неподвижной оси. Колебания
Колебаниями
вообще называются движения, повторяющиеся
во времени. Если
эти повторения следуют через равные
промежутки времени, т.е. x(t+T)=x(t), то
колебания называются периодическими
.
Система, совершающая колебания,
называется осциллятором
.
Колебания, которые совершает система,
предоставленная самой себе, называются
собственными, а частота колебаний в
этом случае -- собственной
частотой
. Гармоническими
колебаниями
называются колебания, происходящие по
закону sin или cos. Например, x(t)=A
cos(t+ 0), где
x(t) -- смещение частицы от положения
равновесия, A -- максимальное смещение
или амплитуда
,
t+ 0
-- фаза
колебаний, 0
--
начальная фаза (при t=0),
Система,
совершающая гармонические колебания,
называется гармоническим осциллятором.
Существенно, что амплитуда и частота
гармонических колебаний постоянны и
не зависят друг от друга. Условия
возникновения гармонических колебаний
:на
частицу (или систему частиц) должна
действовать сила или момент сил,
пропорциональные смещению частицы из
положения равновесия и стремящиеся
вернуть ее в положение равновесия. Такая
сила (или момент сил) называется
квазиупругой
;
она имеет вид
,
где k называется квазижесткостью. В
частности это может быть и просто упругая
сила, приводящая в колебания пружинный
маятник, колеблющийся вдоль оси x.
Уравнение движения такого маятника
имеет вид: где
введено обозначение
. Непосредственной
подстановкой нетрудно убедиться, что
решением уравнения является
функция x=A
cos( 0 t+ 0), где
A и 0
--
постоянные величины
,
для определения которых следует задать
два начальных
условия
:
положение x(0)=x 0
частицы и ее скорость v х (0)=v 0
в начальный (нулевой) момент времени. Это
уравнение представляет собою динамическое
уравнение любых гармонических
колебаний с собственной частотой 0 .
Для грузика на пружинке
период колебаний пружинного маятника Физический
маятник
-- это любое физическое тело, совершающее колебания
вокруг оси, не проходящей через центр
масс, в поле сил тяжести. Для
того, чтобы
собственные колебания системы были
гармоническим, необходимо, чтобы
амплитуда этих колебаний была мала
.
Кстати, то же справедливо и для пружинки:
F упр =-kx
только для малых деформаций пружинки
x. Период
колебаний определяется формулой: Заметим,
что квазиупругим здесь является момент
силы тяжести M я
=
- mgd ,
пропорциональный угловому отклонению
. Частным
случаем физического маятника является
математический
маятник
--
точечная масса, подвешенная на невесомой
нерастяжимой нити длины l. Период малых
колебаний
математического маятника В
реальной ситуации на осциллятор со
стороны окружающей среды всегда действуют
диссипативные силы (вязкого трения,
сопротивления среды) Обозначая
и
,
получаем динамическое уравнение
собственных затухающих гармонических
колебаний: Как
и в случае незатухающих колебаний, это
общая форма уравнения. При
не слишком большом сопротивлении среды
Функция
Время
,
за которое амплитуда колебаний уменьшается
в e=2,71828 раз, называется
временем
релаксации
. Кроме
коэффициента затухания, вводится еще
одна характеристика, называемая
логарифмическим
декрементом затухания
-- это натуральный логарифм
отношения амплитуд (или смещений) через
период: Частота
собственных затухающих колебаний зависит
не только от величины квазиупругой силы
и массы тела, но и от сопротивления
среды. Рассмотрим
два случая такого сложения. a)
Осциллятор участвует в двух
взаимно-перпендикулярных
колебаниях. В
этом случае вдоль осей x и y действуют
две квазиупругие силы. Тогда Для
того, чтобы найти траекторию осциллятора,
следует исключить из этих уравнений
время t. Проще
всего это сделать в случае кратных
частот
: Где n и m -- целые числа. В
этом случае траекторией осциллятора
будет некоторая замкнутая
кривая, называемая фигурой
Лиссажу
. Пример
:
частоты колебаний по x и y одинаковы
( 1 = 2 =),
а разность фаз колебаний
Отсюда
находим:
--
фигурой Лиссажу будет эллипс. б)
Осциллятор совершает колебания одного
направления
. Пусть
таких колебаний пока будет два; тогда где
Аналитически
колебания складывать очень неудобно,
особенно, когда их не
два, а несколько; поэтому обычно
используется геометрический метод
векторных диаграмм
. Вынужденные
колебания
возникают при действии на осциллятор внешней
периодической силы, изменяющейся по
гармоническому закону с
частотой вн:
Динамическое
уравнение вынужденных колебаний: Для
установившегося
режима колебаний
решением
уравнения будет гармоническая функция: где
A -- амплитуда вынужденных колебаний, а
-- отставание по фазе от
вынуждающей силы. Амплитуда
установившихся вынужденных колебаний: Отставание
по фазе установившихся вынужденных
колебаний от внешней вынуждающей
силы: \hs
Итак: установившиеся вынужденные
колебания происходят с
постоянной, не зависящей от времени
амплитудой, т.е. не затухают, несмотря
на сопротивление среды. Это объясняется
тем, что работа внешней
силы идет на увеличение
механической энергии осциллятора и
полностью компенсирует ее
убывание, происходящее из-за действия
диссипативной силы сопротивления Как
видно из формулы, амплитуда вынужденных
колебаний А вн
зависит от частоты внешней вынуждающей
силы вн.
График этой зависимости называется
резонансной
кривой
или амплитудно-частотной характеристикой
осциллятора.
Чистый ламповый синус
График спектра
это массив комплексных чисел. Я даже боюсь представить, где используется комплексное преобразование Фурье, но в нашем случае мнимая часть у нас равна нулю, а действительная равна значению каждой точке масива.
Ещё одна особенность именно быстрого преобразования Фурье, что оно обсчитывает массивы, кратные только степени двойки. В результате мы должны вычислить минимальную степень двойки:
Вектор на комплексной плоскости
В результате получаем файл примерно такого вида:Пробуем!
Итак (барабанная дробь), запускаем скрипт и лицезреем:
Спектр нашего сигнала
А давайте побалуем?
Вокруг шум…
Для начала построим спектр шума. Тема про шумы, случайные сигналы и т.п. достойна отдельного курса. Но мы её коснёмся слегка. Модифицируем нашу программу генерации wav-файла, добавим одну процедуру:
Сигнал в audacity
Спектр
Наш спектр
А компот?
Его величество - меандр или меандр здорового человека
Спектр меандра
Первые гармоники
А теперь внимание! В реальной жизни сигнал меандра у нас имеет бесконечную сумму гармоник всё более и более высокой частоты, но как правило, реальные электрические цепи не могут пропускать частоты выше какой-то частоты (в силу индуктивности и ёмкости дорожек). В результате на экране осциллографа можно часто увидеть вот такой сигнал:
Меандр курильщика
Книга
Заключение
Удачи!Превращения энергии при гармонических колебаниях.
Виды колебаний
Уравнение гармонических колебаний
Рис.2.
Амплитуду результирующего колебания удобно определить с помощью векторной диаграммы (рис. 2), на которой отложены векторы амплитуд и складываемых колебаний под углами и к оси и по правилу параллелограмма получен вектор амплитуды суммарного колебания .
Так как, медленно изменяется, величину нельзя назвать амплитудой в полном смысле этого слова (амплитуда величина постоянная). Условно эту величину можно назвать переменной амплитудой. График таких колебаний показан на рис.3. Складываемые колебания имеют одинаковые амплитуды, но различны периоды, при этом периоды и отличаются незначительно друг от друга. При сложении таких колебаний наблюдаются биения. Число биений в секунду определяется разностью частот складываемых колебаний, т.е
Рис. 3.
или .
2). Начальная разность фаз равна
:
Рис. 4.
Рис.5.
В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз или вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс всё время деформируется. При существенно различных периодах фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение – получаются фигуры Лиссажу более сложной формы.
Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний (рис. 6).
2. Момент инерции и его
вычисление
3. Кинетическая энергия
вращения
–4. Плоское
движение
,1. Гармонический осциллятор
-- циклическая
частота
,
-- просто частота колебаний.
или
,
.2. Физический и математический
маятники
.
3. Затухающие гармонические
колебания
,
которые замедляют движение. Уравнение
движения тогда принимает вид:
.
.
представляет
собою убывающую по экспоненте амплитуду
колебаний. Это уменьшение амплитуды
называется релаксацией
(ослаблением) колебаний, а
называется коэффициентом
затухания
колебаний.
4. Сложение гармонических
колебаний
(для простоты положим 1 =0).
.
и
--
фазы колебаний.5. Вынужденные колебания
.
.6. Резонанс
