Применение принципа суперпозиции для расчета электрических полей. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей — Гипермаркет знаний. Закон сохранения электрического
Основная задача электростатики формулируется следующим образом: по заданному распределению в пространстве источников поля - электрических зарядов - найти значение вектора напряжённости во всех точках поля. Эта задача может быть решена на основе принципа суперпозиции электрических полей.
Напряжённость электрического поля системы зарядов равна геометрической сумме напряжённостей полей каждого из зарядов в отдельности.
Заряды могут быть распределены в пространстве либо дискретно, либо непрерывно. В первом случае напряжённость поля для системы точечных зарядов
где - напряжённость поля i -го заряда системы в рассматриваемой точке пространства, n - общее число дискретных зарядов системы.
Если электрические заряды непрерывно распределены вдоль линии, то вводится линейная плотность зарядов t , Кл/м.
t = (dq/dl),
где dq - заряд малого участка длиной dl .
Если электрические заряды непрерывно распределены по поверхности, то вводится поверхностная плотность зарядов s , Кл/м 2 .
s = (dq/dS ),
где dq - заряд, расположенный на малом участке поверхности площадью dS .
При непрерывном распределении зарядов в каком-либо объёме вводится объёмная плотность зарядов r , Кл/м 3 .
r = (dq/dV),
где dq - заряд, находящийся в малом элементе объёма dV .
Согласно принципу суперпозиции напряжённость электростатического поля, создаваемого в вакууме непрерывно распределёнными зарядами:
где - напряжённость электростатического поля, создаваемого в вакууме малым зарядом dq , а интегрирование проводится по всем непрерывно распределённым зарядам.
Рассмотрим применение принципа суперпозиции к электрическому диполю.
Электрическим диполем называется система из двух равных по абсолютной величине и противоположных по знаку электрических зарядов (q и –q ), расстояние l между которыми мало по сравнению с расстоянием до рассматриваемых точек поля. Вектор , направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному, называется плечом диполя. Вектор называется электрическим моментом диполя (дипольным электрическим моментом). Напряжённость поля диполя в произвольной точке , где и - напряжённости полей зарядов q и -q (рис. 1.2).
В точке А, расположенной на оси диполя на расстоянии r от его центра (r>>l ), напряжённость поля диполя в вакууме:
В точке В, расположенной на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины, на расстоянии r от центра (r>>l ):
В произвольной точке С модуль вектора напряженности
где r - величина радиуса-вектора, проведенного от центра диполя к точке С; a - угол между радиусом-вектором и дипольным моментом(рис. 1.2).
1.3. Поток напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
Элементарным потоком напряжённости электрического поля сквозь малый участок площадью dS поверхности, проведённой в поле, называется скалярная физическая величина
dN = = EdScos() = E n dS = EdS ^ ,
где - вектор напряжённости электрического поля на площадке dS , - единичный вектор, нормальный к площадке dS , -вектор площадки, Е n = Ecos() - проекция вектора на направление вектора , dS ^ = dScos() - площадь проекции элемента dS поверхности на плоскость, перпендикулярную вектору (рис. 1.3).
Теорема Гаусса
Поток напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью:
где все векторы направлены вдоль внешнихнормалей к замкнутой поверхности интегрирования S , которую часто называют гауссовой поверхностью.
1.4. Потенциал электростатического поля. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении в нём электрического заряда
Работа dА , совершаемая кулоновскими силами при малом перемещении точечного заряда q в электростатическом поле:
где - напряжённость поля в месте нахождения заряда q . Работа кулоновской силы при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории движения заряда (т.е. кулоновские силы являются консервативными силами). Работа сил электростатического поля при перемещении заряда q вдоль любого замкнутого контура L равна нулю. Это можно записать в виде теоремы о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю:
Это соотношение, выражающее потенциальный характер электростатического поля, справедливо как в вакууме, так и в веществе.
Работа dА , совершаемая силами электростатического поля при малом перемещении точечного заряда q в электростатическом поле, равна убыли потенциальной энергии этого заряда в поле:
dА= - dW П и А 12 = - DW П = W П1 - W П2 ,
где W П1 и W П2 - значения потенциальной энергии заряда q в точках 1 и 2 поля. Энергетической характеристикой электростатического поля служит его потенциал.
Потенциалом электростатического поля называется скалярная физическая величина j , равная потенциальной энергии W П положительного единичного точечного заряда, помещённого в рассматриваемую точку поля, В.
Потенциал поля точечного заряда q в вакууме
Принцип суперпозиции для потенциала
т.е. при наложении электростатических полей их потенциалы складываются алгебраически.
Потенциал поля электрического диполя в точке С (рис. 1.2)
Если заряды распределены в пространстве непрерывно, то потенциал j их поля в вакууме:
Интегрирование проводится по всем зарядам, образующим рассматриваемую систему.
Работа А 12 , совершаемая силами электростатического поля при перемещении точечного заряда q из точки 1 поля (потенциал j 1 ) в точку 2 (потенциал j 2 ):
А 12 = q (j 1 - j 2).
Если j 2 = 0, то .
Потенциал какой-либо точки электростатического поля численно равен работе, совершаемой силами поля при перемещении положительного единичного заряда из данной точки в точку поля, где потенциал принят равным нулю.
При изучении электростатических полей в каких-либо точках важны разности, а не абсолютные значения потенциалов в этих точках. Поэтому выбор точки с нулевым потенциалом определяется только удобством решения данной задачи. Связь между потенциалом и напряжённостью имеет вид
Е х = , Е у = , Е z = и ,
т.е. напряжённость электростатического поля равна по модулю и противоположна по направлению градиенту потенциала.
Геометрическое место точек электростатического поля, в которых значения потенциалов одинаковы, называется эквипотенциальной поверхностью. Если вектор направлен по касательной к эквипотенциальной поверхности, то и . Это означает, что вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности в каждой точке, т.е. E = E n .
1.5. Примеры применения теоремы Гаусса к расчёту электростатических полей s >0) или к ней (если s < 0).
Для всех точек поля
Так как , и полагая потенциал поля равным нулю в точках заряженной плоскости (х = 0), получим
Графики зависимостей Е и j от x приведены на рис. 1.6.
>>Физика: Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей
Недостаточно утверждать, что электрическое поле существует. Надо ввести количественную характеристику поля. После этого электрические поля можно будет сравнивать друг с другом и продолжать изучать их свойства.
Электрическое поле обнаруживается по силам, действующим на заряд. Можно утверждать, что мы знаем о поле все, что нам нужно, если будем знать силу, действующую на любой заряд в любой точке поля.
Поэтому надо ввести такую характеристику поля, знание которой позволит определить эту силу.
Если поочередно помещать в одну и ту же точку поля небольшие заряженные тела и измерять силы, то обнаружится, что сила, действующая на заряд со стороны поля, прямо пропорциональна этому заряду. Действительно, пусть поле создается точечным зарядомq 1
. Согласно закону Кулона (14.2) на заряд q 2
действует сила, пропорциональная заряду q 2
. Поэтому отношение силы, действующей на помещаемый в данную точку поля заряд, к этому заряду для каждой точки поля не зависит от заряда и может рассматриваться как характеристика поля. Эту характеристику называютнапряженностью электрического поля. Подобно силе, напряженность поля – векторная величина
; ее обозначают буквой . Если помещенный в поле заряд обозначить через q
вместо q 2
, то напряженность будет равна:
Отсюда сила, действующая на заряд q со стороны электрического поля, равна:
Напряженность поля точечного заряда. Найдем напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q 0 . По закону Кулона этот заряд будет действовать на положительный заряд q с силой, равной
если в данной точке пространства различные заряженные частицы создают электрические поля, напряженности которых
и т. д., то результирующая напряженность поля в этой точке равна сумме напряженностей этих полей:
причем напряженность поля, создаваемая отдельным зарядом, определяется так, как будто других зарядов, создающих поле, не существует.
Благодаря принципу суперпозиции для нахождения напряженности поля системы заряженных частиц в любой точке достаточно знать выражение (14.9) для напряженности поля точечного заряда. На рисунке 14.8 показано, как определяется напряженность поля в точке A
, созданная двумя точечными зарядами q 1
и q 2 , q 1 >q 2
???
1. Что называется напряженностью электрического поля?
2. Чему равна напряженность поля точечного заряда?
3. Как направлена напряженность поля зарядаq 0 , если q 0
>0
? если q 0
<0
?
4. Как формулируется принцип суперпозиции полей?
Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев, Н.Н.Сотский, Физика 10 класс
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиЕсли у вас есть исправления или предложения к данному уроку,
Взаимодействие между зарядами осуществляется через электрическое поле. Электрическое поле покоящихся зарядов называется электростатическим.
Электростатическое поле - поле, созданное неподвижными в пространстве и неизменными во времени электрическими зарядами (при отсутствии электрических токов). Электрическое поле представляет собой особый вид материи, связанный с электрическими зарядами и передающий действия зарядов друг на друга. Электростатическое поле отдельного заряда можно обнаружить, если внести в это поле другой заряд, на который в соответствии с законом Кулона будет действовать определенная сила.
Напряженность поля есть векторная величина, численно равная силе, действующей на единичный положительный точечный заряд, помещенный в данную точку поля . [E]=Н/Кл=(м*кг)/(см3*A1)=В/м. Направление вектора напряженности совпадает с направлением действия силы. Определим напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q на некотором расстоянии r от него в вакууме ; .
Если в одну и туже точку помещать разные пробные заряды q1 , q2 и т.д., то на них будут действовать различные силы, пропорциональные этим зарядам. Отношение для всех зарядов, вносимых в поле, будет одинаковым и будет зависеть лишь от q и r, определяющих электрическое поле в данной точке. Напряженность данной точки электрического поля это сила действующая на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку.
За единицу напряженности принимается напряженность в такой точке поля, в которой на единицу заряда действует единица силы.
Принцип суперпозиции полей.
Результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил.
Принцип суперпозиции полей, или принцип наложения, является условностью, согласно которой некоторый сложный процесс взаимодействия между определённым числом объектов можно представить в виде суммы взаимодействий между отдельными объектами. Принцип суперпозиции применим лишь к тем системам, которые описываются линейными уравнениями. Графически принцип суперпозиции полей можно представить в виде геометрической суммы векторов силы, которые действуют на пробный заряд, помещённый в поле точечных электрических зарядов.
Если поле создано простейшей совокупностью зарядов, которая состоит из положительного и отрицательного зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, то результирующее поле в точке наблюдения находится с помощью правила параллелограмма.
Нельзя применять принцип суперпозиции к взаимодействию атомов и молекул между собой. Например, если взять два атома, у которых электроны находятся во взаимодействии, и поднести к ним третий такой же атом. Часть электронов от первых двух атомов притянется и вступит во взаимодействие с третьим атомом. Т.е. первоначальное распределение энергии в системе изменится. Изначальная сила взаимодействия между электронами и ядрами первых двух атомов уменьшится. Т.е. третий атом влияет не только на электроны, но и на ядра атомов. Также принцип суперпозиции нельзя применять для нелинейный систем.
Принцип суперпозиции
Допустим, что у нас есть три точечных заряда. Эти заряды взаимодействуют. Можно провести эксперимент и измерить силы, которые действуют на каждый заряд. Для того чтобы найти суммарную силу, с которой на один заряд действует второй и третий, необходимо силы, с которыми действуют каждый из них сложить по правилу параллелограмма. Возникает вопрос, равна ли измеряемая сила, которая действует на каждый из зарядов, сумме сил со стороны двух других, если силы рассчитаны по закону Кулона. Исследования показали, что измеряемая сила равна сумме вычисляемых сил в соответствии с законом Кулона со стороны двух зарядов. Такой эмпирический результат выражается в виде утверждений:
- сила взаимодействия двух точечных зарядов не изменяется, если присутствуют другие заряды;
- сила, действующая на точечный заряд со стороны двух точечных зарядов, равна сумме сил, действующих на него со стороны каждого из точечных зарядов при отсутствии другого.
Данное утверждение называется принципом суперпозиции. Этот принцип является одной из основ учения об электричестве. Он так же важен, как и закон Кулона. Его обобщение на случай множества зарядов очевидно. Если имеется несколько источников поля (количество зарядов N), то результирующую силу, действующую на пробный заряд q можно найти как:
\[\overrightarrow{F}=\sum\limits^N_{i=1}{\overrightarrow{F_{ia}}}\left(1\right),\]
где $\overrightarrow{F_{ia}}$ -- сила, с которой действует на заряд q заряд $q_i$ если остальные N-1 заряд отсутствуют.
Принцип суперпозиции (1) позволяет, используя закон взаимодействия между точечными зарядами, вычислить силу взаимодействия между зарядами, находящимися на теле конечных размеров. Для этого необходимо разбить каждый из зарядов на малые заряды dq, которые можно считать точечными, взять из попарно, вычислить силу взаимодействия и провести векторное сложение полученных сил.
Полевая трактовка принципа суперпозиции
Принцип суперпозиции имеет полевую трактовку: напряженность поля двух точечных зарядов равна сумме напряженностей, которые создаются каждым из зарядов, при отсутствии другого.
В общем случае принцип суперпозиции относительно напряженностей можно записать так:
\[\overrightarrow{E}=\sum{\overrightarrow{E_i}}\left(2\right).\]
где ${\overrightarrow{E}}_i=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{q_i}{\varepsilon r^3_i}\overrightarrow{r_i}\ $- напряжённость i-го точечного заряда, $\overrightarrow{r_i}\ $- радиус-вектор, проведённый от i-го заряда в точку пространства. Выражение (1) означает, что напряженность поля любого числа точечных зарядов равна сумме напряженностей полей каждого из точечных зарядов, если другие отсутствуют.
Подтверждено инженерной практикой, что принцип суперпозиции соблюдается вплоть до очень больших напряженностей полей. Очень значительные напряженности имеют поля в атомах и ядрах (порядка ${10}^{11}-{10}^{17}\frac{B}{м}$), но и для них использовали принцип суперпозиции в расчетах энергетических уровней атомов и данные расчетов совпали с данными экспериментов с большой точностью. Однако надо отметить, что при очень малых расстояниях (порядка $\sim {10}^{-15}м$) и экстремально сильных полях принцип суперпозиции, возможно, не выполняется. Так, к примеру, на поверхности тяжелых ядер напряженности достигают порядка $\sim {10}^{22}\frac{В}{м}$ принцип суперпозиции выполняется, но при напряженности ${10}^{20}\frac{В}{м}$ возникают квантово -- механические нелинейности взаимодействия.
Если заряд распределен непрерывно (нет необходимости учитывать дискретность), то суммарная напряженность поля найдется как:
\[\overrightarrow{E}=\int{d\overrightarrow{E}}\ \left(3\right).\]
В уравнении (3) интегрирование проводят по области распределения зарядов. Если заряды распределены по линии ($\tau =\frac{dq\ }{dl}-линейная\ плотность\ распределения\ заряда$), то интегрирование в (3) проводят по линии. Если заряды распределены по поверхности и поверхностная плотность распределения $\sigma =\frac{dq\ }{dS}$, то интегрируют по поверхности. Интегрирование проводят по объему, если имеют дело с объемным распределением заряда: $\rho =\frac{dq\ }{dV}$, где $\rho $ -- объемная плотность распределения заряда.
Принцип суперпозиции в принципе позволяет определить $\overrightarrow{E}$ для любой точки пространства по известному пространственному распределению заряда.
Пример 1
Задание: Одинаковые точечные заряды q находятся в вершинах квадрата со стороной a. Определите, какая сила, действует на каждый заряд со стороны других трех зарядов.
Изобразим силы, действующие на один из зарядов в вершине квадрата (выбор не важен, так как заряды одинаковы) (рис.1). Результирующую силу, действующую на заряд $q_1$, запишем как:
\[\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_{12}+{\overrightarrow{F}}_{14}+{\overrightarrow{F}}_{13}\ \left(1.1\right).\]
Силы ${\overrightarrow{F}}_{12}$ и ${\overrightarrow{F}}_{14}$ равны по модулю и могут быть найдены как:
\[\left|{\overrightarrow{F}}_{12}\right|=\left|{\overrightarrow{F}}_{14}\right|=k\frac{q^2}{a^2}\ \left(1.2\right),\]
где $k=9 {10}^9\frac{Нм^2}{{Кл}^2}.$
Модуль силы ${\overrightarrow{F}}_{13}$ найдем, также по закону Кулона, зная, что диагональ квадрата равна:
следовательно, имеем:
\[\left|{\overrightarrow{F}}_{13}\right|=k\frac{q^2}{2a^2}\ \left(1.4\right)\]
Направим ось OX как указано на рис. 1, спроектируем уравнение (1.1), подставим полученные модули сил, получим:
Ответ: Сила, действующая на каждый из зарядов в вершинах квадрата равна: $F=\frac{kq^2}{a^2}\left(\frac{2\sqrt{2}+1}{2}\right).$
Пример 2
Задание: Электрический заряд равномерно распределен вдоль тонкой нити в равномерной линейной плотностью $\tau $. Найдите выражение для напряженности поля на расстоянии $а$ от конца нити на ее продолжении. Длина нити равна $l$.
Выделим на нити точечный заряд $dq$, запишем для него из закона Кулона выражение для напряженности электростатического поля:
В заданной точке все векторы напряженности направлены одинаково, вдоль оси Х, поэтому, имеем:
Так как заряд по условию задачи равномерно распределен по нити с линейной плотностью $\tau $, то можно записать следующее:
Подставим (2.4) в уравнение (2.1), проинтегрируем:
Ответ: Напряженность поля нити в указанной точке вычисляется по формуле: $E=\frac{k\tau l}{a(l+a)}.$
